고등학교 수행평가 수학 탐구 주제 예시- <기하 급수를 이용한 무한 등비수열의 합 계산하기와 그 응용>

 

1. 서론

급수는 수열의 합을 의미하며, 등비수열은 각 항이 이전 항과 일정한 비를 가지는 수열이다. 이 보고서에서는 기하 급수와 무한 등비수열의 합을 계산하는 방법을 소개하고, 이를 통해 수학적 귀납법과 무한 급수에 대한 이해를 돕는다. 또한 실생활에 응용할 수 있는 예제를 제시하여 무한 등비수열의 합의 중요성을 강조한다.

 

2. 기하 급수의 합 계산

 

(1)  유한 등비수열의 합

n개의 항을 가진 등비수열의 합 Sn은 다음과 같이 계산할 수 있다.

Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)

여기서 a는 첫 번째 항, r은 공비이다.

 

(2) 무한 등비수열의 합

무한 등비수열의 경우, n이 무한대로 갈 때 합 S는 다음과 같이 계산할 수 있다.

S = a / (1 - r)

이 식은 |r| < 1일 때만 수렴한다.

 

3. 예제

 

(1) 기본 예제

다음 무한 등비수열의 합을 계산해보자.

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

이 경우, a = 1/2, r = 1/2이다. 공비의 절댓값이 1보다 작으므로, 무한 등비수열의 합이 수렴한다. 따라서 합 S를 계산하면 다음과 같다.

S = (1/2) / (1 - 1/2) = 1/2 / 1/2 = 1

 

(2) 응용 예제

실생활에서 이러한 무한 등비수열의 합을 계산하는 방법이 어떻게 적용될 수 있는지 살펴보자.

예를 들어, 한 상점에서 할인 행사를 진행하고 있다고 가정하자. 첫 번째 구매에 50% 할인, 두 번째 구매에 25% 추가 할인, 세 번째 구매에 12.5% 추가 할인을 받을 수 있다고 한다. 이러한 할인이 무한히 반복되는 상황에서, 전체 할인율을 계산해보자.

이 경우, 할인율 수열은 다음과 같다.

1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...

첫 번째 항 a = 1/2, 공비 r = 1/2이다. 이 무한 등비 수열의 합이 수렴하기 때문에, 전체 할인율 S를 계산할 수 있다.

S = (1/2) / (1 - 1/2) = 1/2 / 1/2 = 1

즉, 무한 등비수열의 합이 1이므로 전체 할인율은 100%가 된다. 이 예제를 통해 무한 등비수열의 합을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있음을 확인할 수 있다.

 

(3) 무한 등비수열의 합과 확률

무한 등비수열의 합을 확률 이론에 응용할 수도 있다. 예를 들어, 동전 던지기를 생각해보자. 앞면이 나올 확률은 1/2, 뒷면이 나올 확률도 1/2이다. 첫 번째 던지기에서 앞면이 나오지 않을 확률, 두 번째 던지기에서 앞면이 나오지 않을 확률, 세 번째 던지기에서 앞면이 나오지 않을 확률 등을 무한히 더한다면 어떻게 될까?

이 경우, 수열은 다음과 같다.

1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...

첫 번째 항 a = 1/2, 공비 r = 1/2이다. 이 무한 등비수열의 합은 수렴하므로, 전체 확률 S를 계산할 수 있다.

S = (1/2) / (1 - 1/2) = 1/2 / 1/2 = 1

따라서, 무한한 동전 던지기에서 앞면이 한 번도 나오지 않을 확률은 0%임을 알 수 있다.

 

4. 결론

이 보고서에서는 기하 급수와 무한 등비수열의 합을 계산하는 방법을 소개하고, 이를 통해 수학적 귀납법과 무한 급수에 대한 이해를 돕는다. 또한 상점의 할인 행사와 동전 던지기 문제 등 실생활 예제를 통해 무한 등비수열의 합의 중요성과 응용성을 강조하였다. 이러한 이론은 수학뿐만 아니라 경제학, 과학, 엔지니어링 등 다양한 분야에서 활용될 수 있으며, 복잡한 문제를 해결하는데 도움이 된다.